이봐! 통근자의 공급 업체로서 저는 이러한 작은 구성 요소가 다른 연구 영역에서 어떻게 사용될 수 있는지에 대해 많이 생각해 왔습니다. 정말 흥미로운 질문 중 하나가 나오는 것입니다.
통근자가 무엇인지 이해하는 것으로 시작합시다. 그룹 이론의 세계에서, 그 그룹에 그룹 (g)과 두 개의 요소 (a)와 (b)가 있다면 ([a, b])로 작성된 (a)와 (b)의 정류자는 (a^{-1} b^{-1} ab)로 정의됩니다. 단순한 작은 공식처럼 보일지 모르지만 그룹에 대해 우리에게 말할 수있는 측면에서 펀치를 포장합니다.
이제 그룹을 해결할 수 있다는 것은 무엇을 의미합니까? 그룹 (g)은 하위 그룹의 시퀀스 (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e}), 여기서 (e)는 그룹의 신원 요소이고 각 (g_ {i + 1})의 정상적인 서브 그룹이고 (g_i) (g_i/g_ {i g_ {i g_ {i g_ {i + 1))입니다. 아벨 리안. 더 간단한 용어로, 우리는 그룹을 더 작고 더 잘 행동하는 (아벨 리안) 조각으로 나눌 수 있습니다.
그렇다면 통근자는이 그림에 어떻게 적합합니까? 글쎄, 종종 (g ') 또는 ([g, g])로 표시되는 통근자 하위 그룹은 그룹 (g)의 모든 정류자에 의해 생성 된 하위 그룹입니다. 즉, (g '= \ langle [a, b] : a, b \ in g \ rangle).
정류자 하위 그룹은 용액을 연구 할 때 매우 중요합니다. 주요 속성 중 하나는 그룹 (g)이 통근자 하위 그룹 (g '= {e}) 인 경우에만 Abelian이라는 것입니다. (g)가 아벨 리안이면 (a, b \ in g), (ab = ba)이기 때문입니다. ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab = a^{-1} ab^{-1} b = e). 반대로, (g '= {e}), 모든 (a, b \ in g), ([a, b] = e)에 대해 (a^{-1} b^{-1} ab = e)를 의미합니다. 왼쪽의 양쪽에 (ab)을 곱하면 (ab = ba)을 얻으므로 (g)는 아벨 리안입니다.
이제 통근자 하위 그룹과 용액 사이의 관계에 대해 생각해 봅시다. 우리는 일련의 정류자 하위 그룹을 형성 할 수 있습니다. (g_0 = g)로 시작한 다음 (g_1 = [g_0, g_0] = g '), (g_2 = [g_1, g_1]) 및 일반적으로 (g_ {i+1} = [g_i, g_i])로 시작합니다. 이 시퀀스를 그룹 (G)의 파생 시리즈라고합니다.
도출 된 시리즈가 결국 사소한 그룹 ({e})에 도달하는 경우에만 그룹 (G)은 해결할 수 있습니다. 즉, (g_n = {e})와 같은 비 음성 정수 (n)가 존재합니다. 이것이 왜 이것이 사실인지 알기 위해, 먼저 (g)는 (g = h_0 \ geq h_1 \ geq \ cdots \ geq h_n = {e}) 여기서 (h_ {i}/h_ {i + 1})는 아벨 리안입니다. 우리는 모든 (i)에 대한 (g_i \ leq h_i)를 유도하여 보여줄 수 있습니다. (i = 0), (g_0 = g = h_0). 가정 (g_i \ leq h_i). (h_ {i}/h_ {i + 1})는 Abelian, ([h_i, h_i] \ leq h_ {i + 1})입니다. 그리고 (g_ {i+1} = [g_i, g_i]) 및 (g_i \ leq h_i)이므로 (g_ {i+1} \ leq [h_i, h_i] \ leq h_ {i+1}). 결국 (h_n = {e}, g_n = {e}).
반대로, 파생 된 시리즈 (g = g_0 \ geq g_1 \ geq \ cdots \ geq g_n = {e})라면, 각각 (g_i/g_ {i+1})은 아벨 리안이기 때문에 (g_ {i+1} = [g_i, g_i]), (g_i/g_ {i+1)). (지수 그룹 및 정류자의 속성을 사용하여이를 증명할 수 있습니다). 따라서 파생 된 시리즈 자체는 (g)에 대한 해결 가능한 시리즈입니다.
실질적으로, 그룹을 볼 때, 우리는 통근자 하위 그룹 단계를 계산할 수 있습니다. 우리는 그룹의 모든 통근자를 찾아 첫 번째 통근자 하위 그룹 (G ')을 형성하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 (g ')가 (g' ') 등을하기 위해 똑같은 일을합니다. 어느 시점에서 우리가 정체성 요소만으로 끝나면 그룹이 해결 가능하다는 것을 알고 있습니다.
통근자 공급 업체로서, 나는 정류자와 그룹 용액 사이의 이러한 연결이 매력적이라고 생각합니다. 전기 공학 및 기계 시스템의 맥락에서 주로 생각되는 이러한 작은 구성 요소는이 깊은 수학적 응용을 가지고 있음을 보여줍니다.
당신이 추상적 인 대수학에 빠지고 그룹 이론에 대한 연구를하고 있다면, 정류자의 개념과 용해성을 연구하는 데 사용하면 완전히 새로운 탐사 영역이 열릴 수 있습니다. 계산 도구를 사용하여 크고 복잡한 그룹의 통근자 하위 그룹을 계산할 수 있습니다. 통근자 하위 그룹을 기반으로 그룹의 구조를 분석하는 데 도움이되는 많은 이론적 결과가 있습니다.
정말 멋진 점은 그룹 용액에 대한 연구에 실제 세계 응용 프로그램도 있다는 것입니다. 예를 들어, 갈로이 이론에서, 다항식 방정식의 갈로이 그룹의 용해성은 방정식이 라디칼에 의해 해결 될 수 있는지 여부와 관련이있다. 따라서 정류자를 사용하여 Galois 그룹의 용해성을 연구함으로써 다항식 방정식에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.
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참조
- Dummit, DS 및 Foote, RM (2004). 추상 대수. 와일리.
- Long, S. (2002). 대수학. 뛰는 것.